Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{3 t^{3} - 14 t^{2} + 8 t}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $t$ aus $3 t^{3} - 14 t^{2} + 8 t$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $t$ aus $3 t^{3}$ heraus.

$\frac{t (3 t^{2}) - 14 t^{2} + 8 t}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- 14 t^{2}$ heraus.

$\frac{t (3 t^{2}) + t (- 14 t) + 8 t}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $t$ aus $8 t$ heraus.

$\frac{t (3 t^{2}) + t (- 14 t) + t \cdot 8}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t (3 t^{2}) + t (- 14 t)$ heraus.

$\frac{t (3 t^{2} - 14 t) + t \cdot 8}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $t$ aus $t (3 t^{2} - 14 t) + t \cdot 8$ heraus.

$\frac{t (3 t^{2} - 14 t + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 14$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 14$ aus $- 14 t$ heraus.

$\frac{t (3 t^{2} - 14 (t) + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 14$ um als $- 2$ plus $- 12$

$\frac{t (3 t^{2} + (- 2 - 12) t + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t (3 t^{2} - 2 t - 12 t + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{t ((3 t^{2} - 2 t) - 12 t + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{t (t (3 t - 2) - 4 (3 t - 2))}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 t - 2$ .

$\frac{t ((3 t - 2) (t - 4))}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{- 2 t^{2} + 3 t + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 20 = - 40$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t$ heraus.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{- 2 t^{2} + 3 (t) + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $3$ um als $- 5$ plus $8$

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{- 2 t^{2} + (- 5 + 8) t + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{- 2 t^{2} - 5 t + 8 t + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t^{2} - 5 t) + 8 t + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{t (- 2 t - 5) - 4 (- 2 t - 5)} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 t - 5$ .

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 16 \cdot - 15 = - 240$ und deren Summe gleich $b = 34$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $34$ aus $34 t$ heraus.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 (t) - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $34$ um als $- 6$ plus $40$

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{16 t^{2} + (- 6 + 40) t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{16 t^{2} - 6 t + 40 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(16 t^{2} - 6 t) + 40 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{2 t (8 t - 3) + 5 (8 t - 3)}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $8 t - 3$ .

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 24 \cdot 6 = 144$ und deren Summe gleich $b = - 25$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25 t$ heraus.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{24 t^{2} - 25 (t) + 6}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 25$ um als $- 9$ plus $- 16$

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{24 t^{2} + (- 9 - 16) t + 6}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{24 t^{2} - 9 t - 16 t + 6}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(24 t^{2} - 9 t) - 16 t + 6}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{3 t (8 t - 3) - 2 (8 t - 3)}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $8 t - 3$ .

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(8 t - 3) (3 t - 2)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 t - 2$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3 t - 2$ aus $t (3 t - 2) (t - 4)$ heraus.

$\frac{(3 t - 2) (t (t - 4))}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(8 t - 3) (3 t - 2)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 t - 2$ aus $(8 t - 3) (3 t - 2)$ heraus.

$\frac{(3 t - 2) (t (t - 4))}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(3 t - 2) (8 t - 3)}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 t - 2) (t (t - 4))}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(3 t - 2) (8 t - 3)}$

Schritt 5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{8 t - 3}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{t (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)}$ mit $\frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{8 t - 3}$ .

$\frac{t (t - 4) ((8 t - 3) (2 t + 5))}{(- 2 t - 5) (t - 4) (8 t - 3)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t - 4$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (t - 4) ((8 t - 3) (2 t + 5))}{(- 2 t - 5) (t - 4) (8 t - 3)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t ((8 t - 3) (2 t + 5))}{(- 2 t - 5) (8 t - 3)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 t - 3$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t ((8 t - 3) (2 t + 5))}{(- 2 t - 5) (8 t - 3)}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t (2 t + 5)}{- 2 t - 5}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 t + 5$ und $- 2 t - 5$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{t (- (- 2 t) + 5)}{- 2 t - 5}$

Schritt 9.2

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{t (- (- 2 t) - 1 (- 5))}{- 2 t - 5}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 t) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{t (- (- 2 t - 5))}{- 2 t - 5}$

Schritt 9.4

Schreibe $- (- 2 t - 5)$ als $- 1 (- 2 t - 5)$ um.

$\frac{t (- 1 (- 2 t - 5))}{- 2 t - 5}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (- 1 (- 2 t - 5))}{- 2 t - 5}$

Schritt 9.6

Dividiere $t \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$t \cdot (- 1)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$- 1 t$

Schritt 10.2

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$- t$